정답
$$ \frac{dN}{d\epsilon}=\frac{8\pi V}{h^3c^3}\,\frac{\epsilon^2}{e^{\epsilon/kT}-1},\quad \frac{dU}{d\epsilon}=\frac{8\pi V}{h^3c^3}\,\frac{\epsilon^3}{e^{\epsilon/kT}-1},\quad U=\frac{8\pi^5k^4}{15h^3c^3}\,VT^4 $$
출제 의도
광자 기체의 보즈-아인슈타인 분포와 운동량 공간에서의 양자상태 수(상태밀도)를 결합해 에너지에 대한 입자수 분포를 구하고, 이를 이용해 스펙트럼 에너지 분포와 전체 내부에너지(흑체복사 에너지 밀도의 \(T^4\) 법칙)를 유도하는지를 평가한다.
풀이 과정
운동량의 크기가 \(p\sim p+dp\)인 광자의 양자상태 수가 \( \dfrac{8\pi V p^2dp}{h^3}\)이고, 각 상태의 평균 점유수(보즈-아인슈타인 분포)가 \(\bar n_{\mathrm{BE}}=\dfrac{1}{e^{E/kT}-1}\)이므로, 그 구간에 존재하는 광자 수는 “상태 수 × 평균 점유수”로 쓸 수 있다.
$$ dN=\frac{8\pi V p^2\,dp}{h^3}\cdot \frac{1}{e^{E/kT}-1} $$
광자에 대해 \(E=pc\)이고 문제에서 에너지 변수를 \(\epsilon\)이라 했으므로 \(\epsilon=pc\), 따라서 \(p=\epsilon/c\), \(dp=d\epsilon/c\)이다. 이를 위 식에 대입해 \(dN/d\epsilon\)를 얻는다.
$$ dN=\frac{8\pi V}{h^3}\left(\frac{\epsilon}{c}\right)^2\left(\frac{d\epsilon}{c}\right)\frac{1}{e^{\epsilon/kT}-1} =\frac{8\pi V}{h^3c^3}\,\frac{\epsilon^2}{e^{\epsilon/kT}-1}\,d\epsilon $$
$$ \frac{dN}{d\epsilon}=\frac{8\pi V}{h^3c^3}\,\frac{\epsilon^2}{e^{\epsilon/kT}-1} $$
에너지 분포는 각 에너지 \(\epsilon\)에서의 에너지 기여가 \(\epsilon\,dN\)이므로
$$ dU=\epsilon\,dN \quad\Rightarrow\quad \frac{dU}{d\epsilon}=\epsilon\frac{dN}{d\epsilon} =\frac{8\pi V}{h^3c^3}\,\frac{\epsilon^3}{e^{\epsilon/kT}-1} $$
전체 내부에너지는 \(\epsilon=0\)부터 \(\infty\)까지 적분하여 구한다.
$$ U=\int_0^\infty \frac{dU}{d\epsilon}\,d\epsilon =\frac{8\pi V}{h^3c^3}\int_0^\infty \frac{\epsilon^3}{e^{\epsilon/kT}-1}\,d\epsilon $$
치환 \(x=\epsilon/(kT)\)를 하면 \(d\epsilon=kT\,dx\), \(\epsilon^3=(kT)^3x^3\)이므로
$$ U=\frac{8\pi V}{h^3c^3}(kT)^4\int_0^\infty \frac{x^3}{e^{x}-1}\,dx $$
자료의 적분값 \(\displaystyle \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{\pi^4}{15}\)을 이용하면
$$ U=\frac{8\pi V}{h^3c^3}(kT)^4\cdot \frac{\pi^4}{15} =\frac{8\pi^5k^4}{15h^3c^3}\,VT^4 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>