정답
\([L]_{\alpha}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&1&-1\\0&0&2\end{pmatrix}\) 이고, 고유값이 \(0,1,2\)로 서로 달라서 대각화 가능이다.
출제 의도
주어진 순서 기저에 대한 선형변환의 행렬을 구하기 위해, 기저벡터들의 상을 계산한 뒤 그 결과를 같은 기저로 좌표화하여 열벡터로 배치할 수 있는지 평가한다. 또한 구한 행렬의 고유값(또는 최소다항식)을 통해 대각화 가능 여부를 판단하는 능력을 묻는다.
풀이 과정
순서 기저 \(\alpha=\{v_1,v_2,v_3\}\)를 \(v_1=(1,1,1),\; v_2=(0,1,1),\; v_3=(1,0,1)\)로 두면, \([L]_{\alpha}\)의 각 열은 \(L(v_j)\)를 기저 \(\alpha\)에 대한 좌표로 나타낸 것이다.
먼저 각 기저벡터에 대해 \(L\)을 적용한다.
$$ L(x_1,x_2,x_3)=(x_1-2x_2+x_3,\;x_2-x_3,\;-x_2+x_3) $$
$$ L(v_1)=L(1,1,1)=(0,0,0) $$
$$ L(v_2)=L(0,1,1)=(-1,0,0) $$
$$ L(v_3)=L(1,0,1)=(2,-1,1) $$
이제 \(L(v_2)=(-1,0,0)\)를 \(c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3\)로 두고 계수를 구한다.
$$ c_1(1,1,1)+c_2(0,1,1)+c_3(1,0,1)=(-1,0,0) $$
성분 비교로 \(c_1+c_3=-1,\; c_1+c_2=0,\; c_1+c_2+c_3=0\)이므로 \(c_3=0,\; c_1=-1,\; c_2=1\)이고,
$$ [\,L(v_2)\,]_{\alpha}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} $$
다음으로 \(L(v_3)=(2,-1,1)\)에 대해 같은 방식으로 \(d_1v_1+d_2v_2+d_3v_3\)를 둔다.
$$ d_1(1,1,1)+d_2(0,1,1)+d_3(1,0,1)=(2,-1,1) $$
성분 비교로 \(d_1+d_3=2,\; d_1+d_2=-1,\; d_1+d_2+d_3=1\)이므로 \(d_3=2,\; d_1=0,\; d_2=-1\)이고,
$$ [\,L(v_3)\,]_{\alpha}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix} $$
또한 \(L(v_1)=(0,0,0)\)이므로 \([\,L(v_1)\,]_{\alpha}=(0,0,0)^T\)이다. 따라서 \([L]_{\alpha}\)는 이 좌표벡터들을 열로 모아
$$ [L]_{\alpha}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
대각화 가능성은 고유값으로 판단한다. 위 행렬은 상삼각행렬이므로 고유값은 대각성분 \(0,1,2\)이고 서로 모두 다르다.
$$ \lambda_1=0,\quad \lambda_2=1,\quad \lambda_3=2 $$
서로 다른 고유값이 3개이면 각 고유값에 대한 고유공간이 적어도 1차원씩 존재하여 합이 3차원이 되고, 결국 고유벡터 3개를 기저로 잡을 수 있으므로 \([L]_{\alpha}\)는 대각화 가능이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>