정답
\(C(x)=\dfrac{\varepsilon_0 L(L+x)}{d}\), \(\;U(x)=\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L(L+x)}\) 이다. 유전체에 작용하는 힘의 크기는 \(F(x)=\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L(L+x)^2}\)이고, 방향은 \(x\)가 증가하는 쪽(유전체가 더 안쪽으로 들어가도록 당기는 방향)이다.
출제 의도
부분적으로 유전체가 삽입된 평행판 축전기를 ‘병렬 연결된 두 축전기’로 모델링하여 등가 정전용량을 구하고, 전하가 일정할 때 저장 에너지의 위치 의존성을 이용해 힘의 크기와 방향을 에너지 기울기로부터 도출하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
유전체(유전율 \(2\varepsilon_0\))가 삽입된 부분의 면적은 \(A_1=Lx\), 진공(\(\varepsilon_0\))인 부분의 면적은 \(A_2=L(L-x)\)이다. 두 부분은 같은 전압을 공유하므로 병렬 연결로 본다.
$$ C(x)=\frac{2\varepsilon_0 A_1}{d}+\frac{\varepsilon_0 A_2}{d} =\frac{2\varepsilon_0 (Lx)}{d}+\frac{\varepsilon_0 (L(L-x))}{d} $$
$$ C(x)=\frac{\varepsilon_0}{d}\big(2Lx+L^2-Lx\big)=\frac{\varepsilon_0}{d}(L^2+Lx)=\frac{\varepsilon_0 L(L+x)}{d} $$
전하 \(Q\)가 일정할 때 축전기에 저장된 에너지는 \(U=\dfrac{Q^2}{2C}\)이므로
$$ U(x)=\frac{Q^2}{2C(x)}=\frac{Q^2}{2}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0 L(L+x)} =\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L(L+x)} $$
유전체가 들어가는 방향을 \(+x\)로 잡으면, 힘은 에너지의 음의 기울기 \(F_x=-\dfrac{dU}{dx}\)로 주어진다.
$$ \frac{dU}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L}\cdot\frac{1}{L+x}\right) =-\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L}\cdot\frac{1}{(L+x)^2} $$
$$ F_x=-\frac{dU}{dx}=\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L(L+x)^2} $$
따라서 힘의 크기는 \(F(x)=\dfrac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 L(L+x)^2}\)이고, \(F_x>0\)이므로 방향은 \(x\)가 증가하는 쪽(유전체를 축전기 안으로 끌어당기는 방향)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>