정답
\(P\)에서 \(\sin\theta=\dfrac{\lambda}{d}\), 이때 \(I(P)=25I_0\)이다. 두 번째·네 번째 슬릿을 막아 3중 슬릿(간격 \(2d\))이 되면, 같은 지점 \(P\)에서 \(I(P)=9I_0\)이다.
출제 의도
다중 슬릿 간섭에서 주응극대 조건 \(d\sin\theta=m\lambda\)를 이용해 첫 번째 주응극대의 위치를 구하고, 주응극대에서 세기가 \(N^2\)에 비례함을 활용해 세기 비를 계산하는 문제이다. 또한 일부 슬릿을 막으면 유효 슬릿 수와 유효 간격이 바뀐다는 점을 이해하는지를 평가한다.
풀이 과정
자료에 따르면, 슬릿 간격이 \(D\)인 \(N\)중 슬릿의 세기는
$$ I=I_0\left(\frac{\sin N\delta}{\sin\delta}\right)^2,\qquad \delta=\frac{\pi D\sin\theta}{\lambda} $$
이다. 여기서 주응극대(Principal maximum)는 분모와 분자가 동시에 0이 되는 \(\delta=m\pi\)에서 나타나며, 이는
$$ \delta=m\pi\ \Longleftrightarrow\ \frac{\pi D\sin\theta}{\lambda}=m\pi \ \Longleftrightarrow\ D\sin\theta=m\lambda $$
와 같다. 5중 슬릿에서 \(D=d\), 첫 번째 주응극대는 \(m=1\)이므로
$$ \sin\theta=\frac{\lambda}{d} $$
이다. 또한 \(\delta\to m\pi\)에서 \(\dfrac{\sin N\delta}{\sin\delta}\to N\)이므로 주응극대의 세기는
$$ I_{\max}=I_0 N^2 $$
따라서 5중 슬릿의 첫 번째 주응극대 \(P\)에서
$$ I(P)=I_0\cdot 5^2=25I_0 $$
이 된다.
이제 두 번째, 네 번째 슬릿을 막으면 남는 슬릿은 1, 3, 5번째로서 서로의 간격이 모두 \(2d\)인 3중 슬릿이 된다. 즉 \(N=3,\ D=2d\)로 볼 수 있다.
원래 5중 슬릿의 점 \(P\)는 \(\sin\theta=\dfrac{\lambda}{d}\)를 만족하므로, 3중 슬릿에서의 \(\delta’\)는
$$ \delta’=\frac{\pi (2d)\sin\theta}{\lambda} =\frac{\pi (2d)}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{d} =2\pi $$
이다. 이는 \(\delta’=m\pi\) (여기서는 \(m=2\))에 해당하므로 3중 슬릿에서도 주응극대이며, 그 세기는
$$ I(P)=I_0\cdot 3^2=9I_0 $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>