정답
영역 \(\{z\in\mathbb{C}\mid |z|<2\}\) 안에 있는 근의 개수는 \(3\)개이며,
$$ \int_C \frac{1}{(z-3)(z^3-z-4)}\,dz=-\frac{\pi i}{10} $$
출제 의도
이 문제는 루쉐 정리를 이용하여 복소다항식의 근의 개수를 특정 영역에서 판별하는 능력과, 유수정리를 적용하여 폐곡선 적분을 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
먼저 방정식
$$ z^3-z-4=0 $$
이 \(|z|<2\)에서 갖는 근의 개수를 구한다. 원 \( |z|=2 \) 위에서
$$ |z^3|=8,\qquad |-z-4|\le |z|+4=6 $$
이므로 모든 \(|z|=2\)에 대하여
$$ |z^3|>|-z-4| $$
가 성립한다. 루쉐 정리에 의해 \(z^3\)과 \(z^3-z-4\)는 \(|z|<2\)에서 같은 개수의 영점을 갖는다. \(z^3\)는 원점에서 중복도를 포함하여 \(3\)개의 영점을 가지므로,
$$ |z|<2 \text{ 안에서 } z^3-z-4=0 \text{ 의 근의 개수는 } 3 $$
이다.
이제 적분
$$ \int_C \frac{1}{(z-3)(z^3-z-4)}\,dz $$
를 계산한다. 적분 함수의 특이점은 \(z=3\)과 \(z^3-z-4=0\)의 근들이다. 원 \(C\)는 \(|z|=2\)이므로 \(z=3\)은 곡선 밖에 있고, 앞에서 구한 세 개의 근은 모두 곡선 안에 있다.
유수정리에 의해 적분값은 곡선 내부의 유수의 합에 \(2\pi i\)를 곱한 것이다. 전체 복소평면에서의 유수의 합은 0이므로,
$$ \sum_{\text{inside}} \operatorname{Res} = – \operatorname{Res}_{z=3} $$
이다. \(z=3\)에서의 유수는 단순극이므로
$$ \operatorname{Res}_{z=3} =\frac{1}{3^3-3-4} =\frac{1}{20} $$
이다. 따라서 곡선 내부의 유수의 합은 \(-\frac{1}{20}\)이고,
$$ \int_C \frac{1}{(z-3)(z^3-z-4)}\,dz =2\pi i\left(-\frac{1}{20}\right) =-\frac{\pi i}{10} $$
가 된다.