정답
산 정상에서 관측된 별의 등급은 약 7.8등급이고, 분해할 수 있는 최소 각거리는 0.1″이며, (ㄱ)은 시상(seeing)이다.
출제 의도
이 문항은 대기 소광의 고도 의존성, 소광등급과 광학적 깊이의 관계, 망원경의 회절한계 계산, 그리고 대기 효과로 인한 점광원 퍼짐 현상의 용어를 종합적으로 이해했는지를 평가한다.
풀이 과정
수증기 개수 밀도는 고도 \(h\)에 따라 \(n(h)=n_0\exp(-h/2)\)로 주어지며, 광학적 깊이는 수증기 개수 밀도에 비례한다.
해수면에서 천정을 볼 때 3 μm에서의 광학적 깊이가 3이므로, 해발 4 km에서의 광학적 깊이 \(\tau\)는 다음과 같다.
$$ \tau = 3 \exp\left(-\frac{4}{2}\right)=3e^{-2} $$
문제에서 자연상수 \(e=2\)이므로 \(e^2=4\), 따라서
$$ \tau = \frac{3}{4}=0.75 $$
소광등급 \(\Delta m\)은 광학적 깊이와 같다고 가정하였으므로, 해수면에서의 소광등급은 3, 산 정상에서는 0.75이다.
해수면에서 관측된 등급이 10등급이므로, 별의 본래 등급 \(m_0\)는
$$ m_0 = 10 – 3 = 7 $$
따라서 해발 4 km 산 정상에서 관측되는 등급은
$$ m = 7 + 0.75 = 7.75 \approx 7.8 $$
다음으로 지름 \(D=4\ \mathrm{m}\)인 망원경으로 파장 \(\lambda=2\ \mu\mathrm{m}\)에서 관측할 때 회절한계는
$$ \theta = \frac{\lambda}{D} = \frac{2\times10^{-6}}{4} =0.5\times10^{-6}\ \mathrm{rad} $$
이를 각초로 변환하면, \(1\ \mathrm{rad}=2\times10^5”\)이므로
$$ \theta = 0.5\times10^{-6}\times 2\times10^5 =0.1” $$
마지막으로 실제 지상망원경 관측에서 대기에 의해 점광원이 퍼져 보이는 현상을 시상(seeing)이라 하며, 이는 괄호 (ㄱ)에 해당한다.