정답
\(\displaystyle \int_C\left(\frac{4e^{-iz}}{(z+6i)(z-2i)}+\overline{z}\right)dz=\pi e^2+8\pi i\)이다.
출제 의도
이 문제는 복소적분에서 유수정리를 적용할 수 있는지와, 해석함수가 아닌 \(\overline{z}\) 항이 포함된 선적분을 기하학적으로 처리할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
곡선 \(C\)는 복소평면에서 중심이 \(i\), 반지름이 \(2\)인 원을 반시계방향으로 한 바퀴 도는 폐곡선이다.
적분을 두 부분으로 나누어 계산한다.
$$ \int_C\left(\frac{4e^{-iz}}{(z+6i)(z-2i)}+\overline{z}\right)dz = \int_C \frac{4e^{-iz}}{(z+6i)(z-2i)}\,dz + \int_C \overline{z}\,dz $$
먼저 첫 번째 적분을 고려한다. 함수
$$ f(z)=\frac{4e^{-iz}}{(z+6i)(z-2i)} $$
는 \(z=2i, -6i\)에서 특이점을 갖는다. 이 중
$$ |2i-i|=1<2,\quad |-6i-i|=7>2 $$
이므로 \(C\)의 내부에는 \(z=2i\)만 포함된다.
따라서 유수정리에 의해
$$ \int_C \frac{4e^{-iz}}{(z+6i)(z-2i)}\,dz =2\pi i\,\mathrm{Res}(f,2i) $$
유수는
$$ \mathrm{Res}(f,2i) =\frac{4e^{-i(2i)}}{2i+6i} =\frac{4e^{2}}{8i} =\frac{e^{2}}{2i} $$
이므로
$$ \int_C \frac{4e^{-iz}}{(z+6i)(z-2i)}\,dz =2\pi i\cdot\frac{e^{2}}{2i} =\pi e^{2} $$
이제 두 번째 적분을 계산한다. 반시계방향 단순폐곡선 \(C\)에 대해 다음이 성립한다.
$$ \int_C \overline{z}\,dz = 2i \cdot (\text{곡선 } C \text{가 둘러싸는 영역의 넓이}) $$
\(C\)는 반지름이 \(2\)인 원이므로 넓이는 \(4\pi\)이다. 따라서
$$ \int_C \overline{z}\,dz = 2i \cdot 4\pi = 8\pi i $$
두 결과를 합하면
$$ \int_C\left(\frac{4e^{-iz}}{(z+6i)(z-2i)}+\overline{z}\right)dz =\pi e^{2}+8\pi i $$
가 된다.