정답
충돌 직후 물체 \(C\)의 속력은 \(v_C=10\,\mathrm{m/s}\), 충돌 직전 물체 \(A\)의 속력은 \(v_A=12\,\mathrm{m/s}\)이다.
출제 의도
이 문제는 비탄성 충돌에서의 운동량 보존을 벡터적으로 적용하는 능력과, 충돌 이후 마찰이 있는 면에서의 운동을 역학적 에너지 또는 일-에너지 정리를 이용해 해석할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
충돌 후 두 물체는 하나의 물체 \(C\)가 되어 마찰이 있는 면에서 운동하다가 정지한다. 먼저 충돌 직후 \(C\)의 속력을 구한다.
질량은 \(m_C=10+2=12\,\mathrm{kg}\)이고, 운동 마찰력의 크기는
$$ f=\mu m_C g=0.5\times 12\times 10=60\,\mathrm{N} $$
이다. 마찰력은 운동 방향의 반대방향으로 작용하며, 물체는 거리 \(20\,\mathrm{m}\)를 이동한 후 멈춘다. 일-에너지 정리에 의해
$$ \frac{1}{2}m_C v_C^2 = f \cdot 20 $$
$$ \frac{1}{2}\times 12 \, v_C^2 = 60 \times 20 $$
$$ 6v_C^2=1200 $$
$$ v_C^2=200,\quad v_C=10\sqrt{2} $$
여기서 속력의 방향은 \(x\)축과 \(30^\circ\)를 이루지만, 이후 계산을 위해 성분으로 나눈다.
$$ v_{Cx}=v_C\cos30^\circ=10\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{6} $$
$$ v_{Cy}=v_C\sin30^\circ=10\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}=5\sqrt{2} $$
이제 충돌 직전과 직후의 운동량 보존을 적용한다. 충돌 전에는 마찰이 없으므로 운동량이 보존된다.
\(x\)방향 운동량 보존:
$$ 10\,v_A = 12\,v_{Cx} $$
$$ 10\,v_A = 12\times 5\sqrt{6} $$
$$ v_A=6\sqrt{6} $$
\(y\)방향 운동량 보존을 이용하면 물체 \(B\)의 초기 속력도 일관되게 결정됨을 확인할 수 있으나, 문제에서 요구하지 않으므로 생략한다.
따라서 수치적으로
$$ v_C=10\,\mathrm{m/s},\quad v_A=12\,\mathrm{m/s} $$
이 된다.