정답
전자 에너지는 \( E_{\max}=E_0+\dfrac{e\hbar B_0}{m} \), \( E_{\min}=E_0-\dfrac{e\hbar B_0}{m} \) 이다.
출제 의도
이 문제는 외부 자기장에 의한 궤도 자기 모멘트의 상호작용, 즉 정상 제만 효과(normal Zeeman effect)를 이해하고, 궤도 각운동량의 자기양자수에 따른 에너지 분열을 정확히 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
외부 자기장이 없을 때 전자의 에너지는 \(E_0\)이다. 외부 자기장 \(\vec B=B_0\hat z\)가 존재하면, 자기장에 의한 섭동 해밀토니언은
$$ H_1=-\vec\mu\cdot\vec B $$
이며, 전자의 궤도 자기 모멘트는
$$ \vec\mu=-\frac{e}{2m}\vec L $$
이므로 이를 대입하면
$$ H_1=\frac{e}{2m}\vec L\cdot\vec B $$
자기장이 \(z\)방향이므로
$$ H_1=\frac{e}{2m}B_0 L_z $$
가 된다. 따라서 에너지의 1차 보정값은
$$ \Delta E=\frac{e}{2m}B_0 \langle L_z\rangle $$
이다.
궤도 각운동량 양자수가 \(l=2\)이므로, 자기양자수는
$$ m_l=-2,-1,0,1,2 $$
를 가질 수 있고,
$$ L_z = m_l\hbar $$
이다. 따라서 에너지 고유값은
$$ E=E_0+\frac{e\hbar B_0}{2m}m_l $$
가 된다.
가장 큰 에너지는 \(m_l=2\)일 때이고,
$$ E_{\max}=E_0+\frac{e\hbar B_0}{2m}\cdot 2 =E_0+\frac{e\hbar B_0}{m} $$
가장 작은 에너지는 \(m_l=-2\)일 때이며,
$$ E_{\min}=E_0-\frac{e\hbar B_0}{m} $$
이다.