정답
입자에 작용하는 힘은 \( \vec F(t)=-m\omega^2\vec r(t) \) 이고, 원점을 기준으로 한 토크는 \( \vec\tau=\vec 0 \) 이다. 또한 각운동량의 \(x\)성분이 0이 되게 하는 값은 \( \phi=\dfrac{\pi}{2} \) 이다.
출제 의도
이 문제는 주어진 위치 벡터로부터 속도와 가속도를 계산하여 뉴턴의 제2법칙으로 힘을 구할 수 있는지, 토크와 각운동량의 정의를 벡터적으로 정확히 적용할 수 있는지, 그리고 삼각함수 항등식을 이용해 각운동량 성분 조건을 해석할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
입자의 위치 벡터는 \( \vec r(t)=\sin\omega t\,\hat x+2\cos\omega t\,\hat y+\sin(\omega t+\phi)\,\hat z \) 로 주어진다.
속도는 시간에 대해 미분하여
$$ \vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} =\omega\cos\omega t\,\hat x-2\omega\sin\omega t\,\hat y +\omega\cos(\omega t+\phi)\,\hat z $$
가속도는 다시 미분하여
$$ \vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =-\omega^2\sin\omega t\,\hat x -2\omega^2\cos\omega t\,\hat y -\omega^2\sin(\omega t+\phi)\,\hat z $$
즉,
$$ \vec a(t)=-\omega^2\vec r(t) $$
가 성립한다. 따라서 뉴턴의 제2법칙에 의해 입자에 작용하는 힘은
$$ \vec F(t)=m\vec a(t)=-m\omega^2\vec r(t) $$
이다.
이제 원점을 기준으로 한 토크를 구하면
$$ \vec\tau=\vec r\times\vec F =\vec r\times(-m\omega^2\vec r) =\vec 0 $$
이므로 토크는 항상 0이다.
다음으로 원점을 기준으로 한 각운동량 \( \vec L=\vec r\times\vec p \) 를 고려한다. 여기서 \(\vec p=m\vec v\)이다.
각운동량의 \(x\)성분은
$$ L_x=m(yv_z-zv_y) $$
이다. 각 성분을 대입하면
$$ y=2\cos\omega t,\quad v_z=\omega\cos(\omega t+\phi), $$
$$ z=\sin(\omega t+\phi),\quad v_y=-2\omega\sin\omega t $$
이므로
$$ \frac{L_x}{m} =2\omega\bigl[\cos\omega t\cos(\omega t+\phi) +\sin\omega t\sin(\omega t+\phi)\bigr] $$
삼각함수 항등식 \( \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \) 를 사용하면
$$ \frac{L_x}{m}=2\omega\cos\phi $$
따라서
$$ L_x=2m\omega\cos\phi $$
이고, \(L_x=0\)이 되기 위한 조건은
$$ \cos\phi=0 $$
이다. \(0\le\phi\le\pi\)에서 이를 만족하는 값은
$$ \phi=\frac{\pi}{2} $$
이다.