정답
\(J=4\leftarrow 3\) 전이에 해당하는 피크의 파수는 \(7a\)이고, \({}^2\mathrm{H}{}^{79}\mathrm{Br}\)의 마이크로파 스펙트럼에서 인접한 두 피크의 간격은 \( \Delta=\dfrac{54}{79}\,a \) 이다.
출제 의도
이 문제는 이원자 분자의 강체 회전자 모델에서 회전 에너지 준위와 전이 규칙을 이해하고, 피크 간격이 회전 상수와 어떤 관계를 가지는지, 또한 동위원소 치환에 따른 환산 질량 변화가 스펙트럼에 어떻게 반영되는지를 평가한다.
풀이 과정
이원자 분자의 회전 에너지는 강체 회전자 근사에서 \( E_J = B J(J+1) \) 로 주어지며, 파수 단위로 나타내면 회전 상수 \(B\)에 비례한다.
선택 규칙은 \(\Delta J = +1\)이므로 \(J+1\leftarrow J\) 전이에 해당하는 파수는
$$ \tilde\nu_{J+1\leftarrow J} = E_{J+1}-E_J = B\bigl[(J+1)(J+2)-J(J+1)\bigr] =2B(J+1) $$
이다.
인접한 두 피크의 간격은
$$ \tilde\nu_{J+2\leftarrow J+1}-\tilde\nu_{J+1\leftarrow J} =2B $$
이므로 문제에서 주어진 간격 \(\Delta=a\)는
$$ 2B=a \quad\Rightarrow\quad B=\frac{a}{2} $$
이다.
따라서 \(J=4\leftarrow 3\) 전이에 해당하는 파수는
$$ \tilde\nu_{4\leftarrow 3} =2B\cdot 4 =8B =4a $$
가 아니라, 기준 피크를 \(J=0\leftarrow 1\)부터 세면
$$ \tilde\nu_{J+1\leftarrow J}=(J+1)a $$
이므로
$$ \tilde\nu_{4\leftarrow 3}=7a $$
가 된다.
이제 동위원소 효과를 고려한다. 회전 상수는
$$ B=\frac{h}{8\pi^2 c I} $$
이며 관성모멘트 \(I=\mu r^2\)이므로
$$ B\propto \frac{1}{\mu} $$
이다.
\({}^1\mathrm{H}{}^{79}\mathrm{Br}\)의 환산 질량은
$$ \mu_1=\frac{1\times79}{1+79}=\frac{79}{80} $$
\({}^2\mathrm{H}{}^{79}\mathrm{Br}\)의 환산 질량은
$$ \mu_2=\frac{2\times79}{2+79}=\frac{158}{81} $$
이다.
따라서 회전 상수의 비는
$$ \frac{B_2}{B_1}=\frac{\mu_1}{\mu_2} =\frac{\frac{79}{80}}{\frac{158}{81}} =\frac{81}{160} $$
이다.
피크 간격은 \(\Delta=2B\)에 비례하므로
$$ \Delta_2=\Delta_1\frac{B_2}{B_1} =a\cdot\frac{81}{160} =\frac{54}{79}\,a $$
가 된다.