정답
㉠ \(= l\left(\dfrac{0.8}{2.7}\right)^{1/3}\), ㉡ \(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{0.8}{2.7}\right)^{1/3} r\) 이다.
출제 의도
이 문제는 단순 입방(SC)과 면심 입방(FCC) 결정 구조에서 단위 세포당 원자 수, 밀도, 격자 상수, 원자 반지름의 관계를 정확히 이해하고 이를 이용해 미지의 격자 길이와 원자 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
먼저 금속 X는 단순 입방 구조이므로 단위 세포당 원자 수는 1개이다. 격자 길이를 \(l\)이라 하면 단위 세포의 부피는 \(l^3\)이고, 원자량이 \(a\)이므로 밀도 \(d\)는
$$ d=\frac{a}{l^3} $$
이다.
금속 Y는 면심 입방 구조이므로 단위 세포당 원자 수는 4개이다. 각 원자의 원자량은 \(0.2a\)이므로 단위 세포 하나의 질량은
$$ 4\times 0.2a=0.8a $$
이다. 격자 길이를 ㉠이라 하면 밀도는
$$ \frac{0.8a}{\text{㉠}^3} $$
이다.
문제에서 금속 Y의 밀도는 \(2.7d\)이므로
$$ \frac{0.8a}{\text{㉠}^3}=2.7\frac{a}{l^3} $$
이고, 이를 정리하면
$$ \text{㉠}^3=\frac{0.8}{2.7}l^3 $$
따라서
$$ \text{㉠}=l\left(\frac{0.8}{2.7}\right)^{1/3} $$
이 된다.
이제 원자 반지름을 구한다. 단순 입방 구조에서 원자는 모서리 방향으로 접하므로
$$ r=\frac{l}{2} $$
이다.
면심 입방 구조에서는 원자가 면 대각선 방향으로 접하므로
$$ 4R=\sqrt{2}\,\text{㉠} $$
이다. 따라서 금속 Y의 원자 반지름 ㉡은
$$ \text{㉡}=\frac{\sqrt{2}}{4}\text{㉠} $$
이다.
여기에 ㉠의 값을 대입하고 \(l=2r\)를 사용하면
$$ \text{㉡} =\frac{\sqrt{2}}{4}\,l\left(\frac{0.8}{2.7}\right)^{1/3} =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{0.8}{2.7}\right)^{1/3}r $$
가 된다.