정답
\(a=0.75,\ b=0.02\)이다.
출제 의도
두 독립 표본에서 모비율을 추정한 뒤, 그 평균에 대한 신뢰구간을 중심값(점추정치)과 표준오차로 구성할 수 있는지 평가한다.
풀이 과정
표본비율은 A도시 \(\hat p_1=0.7\), B도시 \(\hat p_2=0.8\)이고, 관심 모수는 \(\dfrac{p_1+p_2}{2}\)이므로 점추정치는 \(\dfrac{\hat p_1+\hat p_2}{2}\)이다.
$$ a=\frac{\hat p_1+\hat p_2}{2}=\frac{0.7+0.8}{2}=0.75 $$
두 표본은 서로 독립이므로 \(\hat p_1,\hat p_2\)도 독립으로 보고, 분산은 \(\mathrm{Var}(\hat p)=\dfrac{p(1-p)}{n}\)를 \(\hat p\)로 근사한다. 따라서
$$ b=\sqrt{\mathrm{Var}\!\left(\frac{\hat p_1+\hat p_2}{2}\right)} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{350}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{160}} $$
$$ b=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{0.7\cdot0.3}{350}+\frac{0.8\cdot0.2}{160}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{0.21}{350}+\frac{0.16}{160}} =\frac{1}{2}\sqrt{0.0006+0.0010} =\frac{1}{2}\sqrt{0.0016} =\frac{1}{2}\cdot0.04=0.02 $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>