정답
\(\displaystyle \frac{\sigma_1}{\sigma_0}=\frac{1}{\sqrt2},\quad |{\bf E}(B)|=\frac{\sigma_0}{\sqrt2\,\varepsilon_0}=\frac{\sigma_1}{\varepsilon_0},\quad V(B)=\frac{a\sigma_0}{\sqrt2\,\varepsilon_0}=\frac{a\sigma_1}{\varepsilon_0}\)이다.
출제 의도
무한 평면 전하의 일정한 전기장과, 원판 전하의 축상 전기장 공식을 중첩하여 특정 점에서 전기장/전위 조건을 만족시키는 전하밀도 비를 구하고, 이어서 다른 점의 전기장과 전위를 선적분으로 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
좌측 평면을 \(z=0\)에 두고(구멍 중심 \(O\)가 원점), 우측 평면은 \(z=2a\)에 둔다. 그림에서 점 \(A\)는 \(z=-a\), 점 \(B\)는 \(z=+a\)이다.
좌측 평면은 면전하 \(-\sigma_0\)가 균일하나 반지름 \(a\) 원형 구멍이 있으므로, “전하 \(-\sigma_0\)의 무한 평면”과 “전하 \(+\sigma_0\)의 원판(반지름 \(a\))”의 중첩으로 볼 수 있다. 여기에 우측의 “전하 \(+\sigma_1\)의 무한 평면(\(z=2a\))”을 더한다.
무한 평면 전하의 전기장은 한쪽에서 크기 \(\sigma/(2\varepsilon_0)\)로 일정하고, 양전하는 평면에서 멀어지는 방향, 음전하는 평면을 향하는 방향이다. 또한 자료의 원판 전기장(축 방향)은 반지름 \(a\), 면전하 \(\sigma\)일 때
$$ {\bf E}_{\text{disk}}(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)\frac{z}{|z|}\,\hat{\bf z} $$
점 \(A(z=-a)\)에서의 전기장을 각 성분으로 계산한다. 좌측 무한 평면(\(-\sigma_0\), \(z=0\))은 \(z<0\)에서 \(+\hat{\bf z}\)방향으로 크기 \(\sigma_0/(2\varepsilon_0)\)를 만든다. 원판(\(+\sigma_0\), \(z=0\))은 \(z=-a\)에서 \(-\hat{\bf z}\)방향이고 크기는 \(\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)\)이다. 우측 무한 평면(\(+\sigma_1\), \(z=2a\))은 \(z<2a\)에서 \(-\hat{\bf z}\)방향으로 크기 \(\sigma_1/(2\varepsilon_0)\)를 만든다.
따라서 \(A\)에서 \(E_z=0\) 조건은
$$ \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)-\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}=0 $$
$$ \Rightarrow\ \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} \Rightarrow\ \frac{\sigma_1}{\sigma_0}=\frac{1}{\sqrt2} $$
이제 점 \(B(z=a)\)에서 전기장을 구한다. 좌측 무한 평면(\(-\sigma_0\))은 \(z>0\)에서 \(-\hat{\bf z}\)방향 크기 \(\sigma_0/(2\varepsilon_0)\), 원판(\(+\sigma_0\))은 \(z=a\)에서 \(+\hat{\bf z}\)방향 크기 \(\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)\), 우측 무한 평면(\(+\sigma_1\))은 \(z<2a\)에서 \(-\hat{\bf z}\)방향 크기 \(\sigma_1/(2\varepsilon_0)\)이다.
$$ E_z(B)=-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)-\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $$
\(\sigma_1=\sigma_0/\sqrt2\)를 대입하면
$$ E_z(B)=-\frac{\sigma_0}{\sqrt2\,\varepsilon_0} $$
즉 방향은 \(-\hat{\bf z}\)이고, 크기는
$$ |{\bf E}(B)|=\frac{\sigma_0}{\sqrt2\,\varepsilon_0}=\frac{\sigma_1}{\varepsilon_0} $$
마지막으로 \(V(A)=0\)이므로 \(V(B)\)는 선적분으로
$$ V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B} {\bf E}\cdot d{\bf l}=-\int_{-a}^{a} E_z(z)\,dz $$
\(-a
$$
E_z(z)=-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0\sqrt2}-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}
$$
따라서
$$
V(B)= -\int_{-a}^{a}\left(-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0\sqrt2}-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)dz
=\int_{-a}^{a}\left(\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0\sqrt2}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)dz
$$
여기서 \(\dfrac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\)는 홀함수이므로 \([-a,a]\)에서 적분이 0이고, 상수항만 남는다.
$$
V(B)=\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0\sqrt2}\cdot(2a)=\frac{a\sigma_0}{\sqrt2\,\varepsilon_0}
=\frac{a\sigma_1}{\varepsilon_0}
$$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>