정답
점 \(\left(\sqrt2,\frac12,\frac12\right)\)에서의 가우스곡률은 \(K=\frac{16}{25}\)이고, \(\displaystyle \iint_M K\,dA=\frac{\pi\sqrt2}{6}\)이다.
출제 의도
타원체(2차 곡면)에서의 가우스곡률을 계산할 수 있는지, 그리고 가우스 사상(Gauss map)을 이용해 \(\iint_M K\,dA\)를 “단위구에서의 면적”으로 바꾸어 적분할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
곡면 \(M\)은 \(x^2+4y^2+4z^2=4\) 이므로
$$ \frac{x^2}{4}+y^2+z^2=1 $$
즉 \(a=2,\ b=1,\ c=1\)인 타원체 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)의 일부이다.
이 타원체에서 가우스곡률은(표준 공식)
$$ K=\frac{1}{a^2b^2c^2}\cdot\frac{1}{\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)^2} $$
점 \(\left(\sqrt2,\frac12,\frac12\right)\)에서 \(x^2=2,\ y^2=z^2=\frac14\)이므로
$$ \frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4} =\frac{2}{16}+\frac14+\frac14 =\frac18+\frac12 =\frac58 $$
또 \(a^2b^2c^2=4\)이므로
$$ K=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\left(\frac58\right)^2} =\frac{1}{4}\cdot\frac{64}{25} =\frac{16}{25} $$
이제 \(\displaystyle \iint_M K\,dA\)를 구한다. 볼록 곡면에서 가우스 사상 \(N\)에 대해
$$ \iint_M K\,dA=\text{(단위구에서 }N(M)\text{의 면적)} $$
곡면을 \(F(x,y,z)=x^2+4y^2+4z^2-4=0\)이라 두면 바깥쪽 법선은 \(\nabla F\propto (x,4y,4z)\)이므로 단위법선은
$$ N=\frac{(x,4y,4z)}{\sqrt{x^2+16y^2+16z^2}} =(N_1,N_2,N_3) $$
주어진 영역 조건을 \(N\)의 조건으로 바꾼다. 먼저 \(0
$$
N_2>0,\quad N_3>0,\quad \frac{N_3}{N_2}=\frac{4z}{4y}=\frac{z}{y}<\sqrt3
\ \Rightarrow\
0 또 \(x>0\)이므로 \(N_1>0\)이다. 남은 조건 \(0
$$
(rN_1)^2+4\left(\frac{rN_2}{4}\right)^2+4\left(\frac{rN_3}{4}\right)^2=4
\Rightarrow
r^2\left(N_1^2+\frac{N_2^2+N_3^2}{4}\right)=4
$$
따라서
$$
r=\frac{2}{\sqrt{N_1^2+\frac{N_2^2+N_3^2}{4}}}
$$
이제 \(x=rN_1<\frac{4\sqrt5}{5}\)를 대입하면
$$
\frac{2N_1}{\sqrt{N_1^2+\frac{N_2^2+N_3^2}{4}}}<\frac{4\sqrt5}{5}
$$
양변 제곱 후 정리하면
$$
N_1^2 결국 \(N(M)\)는 단위구 \(S^2\)에서
$$
N_1>0,\ N_2>0,\ N_3>0,\ N_3<\sqrt3\,N_2,\ N_1<\frac{1}{\sqrt2}
$$
를 만족하는 영역이다. 구면좌표를
$$
N_1=\cos\alpha,\quad N_2=\sin\alpha\cos\beta,\quad N_3=\sin\alpha\sin\beta
$$
로 두면 (첫사분면 조건 \(N_2,N_3>0\)에서) \(\beta\in(0,\frac{\pi}{2})\), 그리고 \(N_3<\sqrt3N_2\)는 \(\tan\beta<\sqrt3\)이므로
$$
0<\beta<\frac{\pi}{3}
$$
또 \(0
$$
0<\cos\alpha<\frac{1}{\sqrt2}
\Rightarrow
\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}
$$
단위구의 면적요소는 \(\sin\alpha\,d\alpha\,d\beta\)이므로 \(N(M)\)의 면적은
$$
\text{Area}(N(M))=\int_{0}^{\pi/3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\alpha\,d\alpha\,d\beta
=\int_{0}^{\pi/3}\left[-\cos\alpha\right]_{\pi/4}^{\pi/2}d\beta
=\int_{0}^{\pi/3}\frac{\sqrt2}{2}\,d\beta
=\frac{\pi\sqrt2}{6}
$$
따라서
$$
\iint_M K\,dA=\frac{\pi\sqrt2}{6}
$$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>