정답
\(D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix} \dfrac1{\sqrt6} & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac1{\sqrt3}\\[4pt] -\dfrac2{\sqrt6} & 0 & \dfrac1{\sqrt3}\\[4pt] \dfrac1{\sqrt6} & -\dfrac1{\sqrt2} & \dfrac1{\sqrt3} \end{pmatrix}
출제 의도
대칭행렬의 대각화에서 역행렬의 영공간으로부터 고유값과 고유공간을 구하고, 이를 이용해 행렬의 스펙트럼(고유값)과 직교행렬을 구성하는 과정을 이해하고 있는지를 평가한다.
풀이 과정
조건 (나)에 의해 \((1,-2,1)^T, (1,2,-3)^T\) 는 행렬 \(A^{-1}-\dfrac12 I\) 의 영공간을 생성한다.
즉, 이 두 벡터 \(v\) 에 대해 \((A^{-1}-\dfrac12 I)v=0\) 이므로 \(A^{-1}v=\dfrac12 v\) 이다. 따라서 이 벡터들은 \(A^{-1}\) 의 고유값 \(\dfrac12\) 에 대응하는 고유벡터이고, 역행렬의 고유값은 원행렬의 고유값의 역수이므로 \(A\) 에 대해서는 고유값 \(2\) 에 대응하는 2차원 고유공간을 이룬다.
고유값을 \(\lambda_1=\lambda_2=2\), 나머지 하나를 \(\lambda_3\) 라 하면, 대칭행렬 \(A\) 는 실수 고유값만 가지며
\(\det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=2\cdot2\cdot\lambda_3=32\)
이므로 \(\lambda_3=8\) 이다. 따라서 고유값은 \(2,2,8\) 이고, \(d_{11}\le d_{22}\le d_{33}\) 조건에 맞추면
$$ D=\operatorname{diag}(2,2,8) $$
이 된다.
이제 직교행렬 \(P\) 를 구한다. 고유값 2의 고유벡터로 주어진 \(v_1=(1,-2,1)^T\), \(v_2=(1,2,-3)^T\) 를 사용해 정규직교 기저를 만든다.
먼저 \(|v_1|^2=1+4+1=6\) 이므로
$$ e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|} =\frac1{\sqrt6}(1,-2,1)^T $$
다음으로 Gram–Schmidt 로 \(v_2\) 를 정규직교화한다. \(v_2\) 에서 \(e_1\) 방향 성분을 빼면
\[ v_2′ = v_2 – \operatorname{proj}_{e_1} v_2 = v_2 + v_1 = (2,0,-2)^T = 2(1,0,-1)^T. \]
따라서
\[ e_2 = \frac{v_2′}{\|v_2’\|} = \frac1{\sqrt2}(1,0,-1)^T. \]
고유값 8 의 고유벡터는 고유값 2 의 고유공간(즉, \(v_1,v_2\) 가 span하는 평면)과 직교인 벡터이다. 조건 \(w\cdot v_1=0, w\cdot v_2=0\) 를 만족하는 \(w=(x,y,z)^T\) 를 풀면 \(x=y=z\) 이고, 따라서 \(w\) 는 \((1,1,1)^T\) 의 배이다.
\(|(1,1,1)^T|^2=3\) 이므로
\[ e_3 = \frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T \]
로 잡으면 \(e_1,e_2,e_3\) 가 서로 직교하는 단위벡터가 되며, 각각 고유값 2,2,8 에 대응한다.
따라서 이들을 열벡터로 갖는 직교행렬 \(P\) 는
$$ P= \begin{pmatrix} \dfrac1{\sqrt6} & \dfrac1{\sqrt2} & \dfrac1{\sqrt3}\\[4pt] -\dfrac2{\sqrt6} & 0 & \dfrac1{\sqrt3}\\[4pt] \dfrac1{\sqrt6} & -\dfrac1{\sqrt2} & \dfrac1{\sqrt3} \end{pmatrix} $$
가 되고, \(P^TAP=D=\operatorname{diag}(2,2,8)\) 를 만족한다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>