정답
그림과 조건만으로는 영역 I, II의 전기장을 하나의 값으로 uniquely(유일하게) 결정할 수 없다. 다만 전기장 \(E_{\mathrm I}\) (영역 I), \(E_{\mathrm{II}}\) (영역 II), \(E_{\mathrm{III}}\) (오른쪽 진공 영역)를 도입하면, 세 전기장은 다음 관계를 만족해야 한다.
$$ 3\varepsilon_0 E_{\mathrm{II}}-\varepsilon_0 E_{\mathrm I}=2\sigma, \qquad \varepsilon_0 E_{\mathrm{III}}-3\varepsilon_0 E_{\mathrm{II}}=\sigma, \qquad \varepsilon_0 E_{\mathrm{III}}-\varepsilon_0 E_{\mathrm I}=3\sigma. $$
또한 유전체의 분극에 의해 영역 II 왼쪽 면(유전체의 왼쪽 경계)에 유도되는 면전하밀도 \(\sigma_{\mathrm{b,L}}\)는
$$ \sigma_{\mathrm{b,L}}=-2\varepsilon_0 E_{\mathrm{II}} $$
로 주어진다(부호까지 포함).
출제 의도
이 문제는 무한 평면 전하와 서로 다른 유전율을 갖는 두 매질(진공과 유전체)이 만나는 경계에서, 전기변위장 \(\mathbf{D}\)와 전기장 \(\mathbf{E}\)의 경계 조건을 이용하는 연습을 의도한 것으로 보인다. 특히
(1) 평면 전하가 존재하는 경계면에서의 \(\mathbf{D}\)의 불연속 조건 \(D_{2n}-D_{1n}=\sigma_{\mathrm f}\), (2) \(\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}\) 관계, (3) 유전체 분극에 의한 bound 전하 \(\sigma_{\mathrm b}=\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf n}\), \(\mathbf{P}=(\varepsilon-\varepsilon_0)\mathbf{E}\) 를 동시에 활용하여 식을 세우게끔 하는 문제이다.
풀이 과정
좌우로 무한히 넓은 얇은 부도체판 A, B가 있고, 그 사이 공간(영역 II)에 유전율 \(3\varepsilon_0\)인 유전체가 채워져 있다. 부도체판 A, B에는 각각 자유 면전하 \(+2\sigma\), \(+\sigma\)가 균일하게 분포해 있으며, 유전체 내부에는 자유 전하가 없다(알짜 전하 0). 부도체판의 왼쪽과 오른쪽 바깥 영역은 진공으로, 유전율이 \(\varepsilon_0\)이다.
공간을 세 영역으로 나눈다.
- 영역 I : 왼쪽 진공(부도체판 A의 왼쪽, 유전율 \(\varepsilon_0\)), 전기장 \(E_{\mathrm I}\)
- 영역 II : 가운데 유전체(유전율 \(3\varepsilon_0\)), 전기장 \(E_{\mathrm{II}}\)
- 영역 III : 오른쪽 진공(부도체판 B의 오른쪽, 유전율 \(\varepsilon_0\)), 전기장 \(E_{\mathrm{III}}\)
전기장은 모두 x축 방향(수직 방향)으로만 존재한다고 두고, 오른쪽 방향을 양(+)으로 잡는다.
먼저, 부도체판 A가 있는 경계(영역 I–II 사이)를 통과하는 전기변위장 \(\mathbf{D}\)의 법선 성분에 대해 가우스 법칙(경계 조건)을 적용한다. 경계에 자유 면전하 \(+2\sigma\)가 있으므로
$$ D_{\mathrm{II},n}-D_{\mathrm I,n}=\sigma_{\mathrm f,A}=2\sigma. $$
여기서 \(\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}\), 그리고 법선 성분은 x성분과 같으므로,
$$ 3\varepsilon_0 E_{\mathrm{II}}-\varepsilon_0 E_{\mathrm I}=2\sigma. $$
다음으로 부도체판 B가 있는 경계(영역 II–III 사이)에 대해, 자유 면전하 \(+\sigma\)가 있으므로 같은 방식으로
$$ D_{\mathrm{III},n}-D_{\mathrm{II},n}=\sigma_{\mathrm f,B}=\sigma $$
에서
$$ \varepsilon_0 E_{\mathrm{III}}-3\varepsilon_0 E_{\mathrm{II}}=\sigma. $$
마지막으로, 아주 큰 가우스 면을 잡아 전체 두 평면을 모두 감싸면, 왼쪽 면과 오른쪽 면으로 나가는 총 전기변위 플럭스는 두 평면 위의 총 자유 전하에 같아야 한다. 왼쪽 면의 법선은 왼쪽(음 x방향), 오른쪽 면의 법선은 오른쪽(양 x방향)이다.
$$ (-\varepsilon_0 E_{\mathrm I}) + (\varepsilon_0 E_{\mathrm{III}}) = (2\sigma+\sigma)=3\sigma $$
따라서
$$ \varepsilon_0 E_{\mathrm{III}}-\varepsilon_0 E_{\mathrm I}=3\sigma. $$
그러나 이 세 식은 서로 독립이 아니다. 실제로 앞의 두 경계 조건을 더하면 곧바로
$$ (\varepsilon_0 E_{\mathrm{III}}-\varepsilon_0 E_{\mathrm I}) = (3\sigma), $$
즉 세 번째 식과 동일해진다. 그래서 미지수 \(E_{\mathrm I}, E_{\mathrm{II}}, E_{\mathrm{III}}\) 세 개에 대해 독립적인 방정식은 두 개뿐이어서, \(E_{\mathrm I}\)와 \(E_{\mathrm{II}}\)의 값을 단일한 수로 결정할 수 없다. 예를 들어 \(E_{\mathrm I}\)를 어떤 값으로 가정하면,
$$ 3\varepsilon_0 E_{\mathrm{II}}-\varepsilon_0 E_{\mathrm I}=2\sigma \quad\Rightarrow\quad E_{\mathrm{II}}=\frac{2\sigma+\varepsilon_0 E_{\mathrm I}}{3\varepsilon_0} $$
처럼 \(\sigma\)와 \(E_{\mathrm I}\)의 조합으로 표현될 뿐이다.
즉, 문제에서 “무한히 넓은 평면만 두 개”와 “주변에 다른 전하가 없다”는 조건만으로는, 이 계의 전기장을 절대적인 크기로 정할 기준이 없어서, 영역 I, II의 전기장 크기를 하나의 값으로 정해 쓸 수 없다. (전형적으로는 ‘무한 평면 몇 개’ 문제에서 각 평면이 진공 속에 고립되어 있다고 가정하고, 각 평면이 만드는 전기장 \(\sigma/(2\varepsilon)\)을 따로 합성하는 식으로 크기를 정의하는데, 지금은 서로 다른 유전율의 경계가 끼어 있어 그 단순한 합성 규칙을 바로 쓸 수 없다.)
이제 유전체 분극에 의해 유도되는 bound 면전하를 계산한다. 유전체 내부에서 전기장은 \(\mathbf{E}_{\mathrm{II}}\)이고, 선형 유전체이므로 분극 벡터 \(\mathbf{P}\)는
$$ \mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e \mathbf{E}_{\mathrm{II}} = (\varepsilon-\varepsilon_0)\mathbf{E}_{\mathrm{II}} = (3\varepsilon_0-\varepsilon_0)\mathbf{E}_{\mathrm{II}} = 2\varepsilon_0\mathbf{E}_{\mathrm{II}}. $$
유전체의 왼쪽 면에서, 유전체 바깥쪽을 향하는 법선 벡터는 \(\hat{\mathbf n}=-\hat{\mathbf x}\)이다. 따라서 그 면에 유도되는 bound 면전하밀도는
$$ \sigma_{\mathrm{b,L}} = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf n} = (2\varepsilon_0\mathbf{E}_{\mathrm{II}})\cdot(-\hat{\mathbf x}) = -2\varepsilon_0E_{\mathrm{II}}. $$
즉, 유전체 내부 전기장 \(\mathbf{E}_{\mathrm{II}}\)가 오른쪽(양의 x방향)을 향한다면, 왼쪽 면에는 크기 \(2\varepsilon_0|E_{\mathrm{II}}|\)인 음의 bound 전하가 유도된다. 전기장 자체의 절대 크기를 문제에서 주어진 정보만으로는 결정할 수 없지만, 분극으로 생기는 bound 전하는 위와 같은 형태로 표현된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>