정답
특이 속도의 절댓값이 가장 큰 은하는 A, 그 크기는 \(1000\ \text{km/s}\)이다. 처녀자리은하단으로부터 구한 허블 상수는 \(H_0 \approx 7.3\times10^{1}\ \text{km/s/Mpc}\)이다.
출제 의도
국부 속도장 모형에서 은하의 관측 후퇴 속도를 우주 팽창에 의한 후퇴 속도와 특이 속도로 분해하는 식 \(v_r = H_0 d + v_p\)를 이해시키고, 거리–속도 평면에서 은하의 특이 속도를 읽어 가장 큰 값을 찾는 능력을 평가한다. 또 처녀자리은하단의 거리와 후퇴 속도에서 허블 상수를 구해, 국부 중력장에 의한 특이 속도가 허블 상수의 지역적 측정값을 왜곡시킬 수 있음을 설명하게 하는 것이 목적이다.
풀이 과정
자료에서 은하의 관측 후퇴 속도 \(v_r\)는
$$ v_r = H_0 d + v_p $$
로 주어진다. 여기서 \(H_0 d\)는 우주 팽창에 의한 후퇴 속도, \(v_p\)는 국부 중력장에 의한 특이 속도이다.
그림에서 각 은하 A, B, C, D의 위치에서 굵은 등속선은 관측된 후퇴 속도 \(v_r\), 점선 등속선은 우주 팽창에 의한 후퇴 속도 \(H_0 d\)를 나타낸다.
먼저 A를 보자. A의 거리는 \(d_A = 5\ \text{Mpc}\)이고, A가 놓인 굵은 등속선은 \(v_r = 1500\ \text{km/s}\)이다. 모형에서 사용한 허블 상수는 \(H_0 = 100\ \text{km/s/Mpc}\)이므로, 우주 팽창에 의한 후퇴 속도는
$$ H_0 d_A = 100\times 5 = 500\ \text{km/s} $$
따라서 A의 특이 속도는
$$ v_{p,A} = v_r – H_0 d_A = 1500 – 500 = 1000\ \text{km/s} $$
이다. 같은 방법으로 B, C, D에 대해서도 \(v_p\)를 계산하면, A의 \(|v_p|\)가 가장 크다는 것을 알 수 있다. 따라서 “특이 속도의 절댓값이 가장 큰 은하”는 A이고, 그 크기는 \(1000\ \text{km/s}\)이다.
다음으로 처녀자리은하단에서 허블 상수를 구한다. 처녀자리은하단은 거리
$$ d_{\mathrm{Virgo}} = 15\ \text{Mpc} $$
에 있고, 그림에서 그 위치에 해당하는 굵은 등속선은
$$ v_r \approx 1100\ \text{km/s} $$
이다. 은하단 하나로부터 허블 상수는
$$ H_0^{(\mathrm{cluster})} = \frac{v_r}{d} $$
로 정의하므로,
$$ H_0^{(\mathrm{Virgo})} = \frac{1100}{15} \approx 73\ \text{km/s/Mpc} $$
가 된다.
한편 국부 초은하단의 속도장 모형을 만들 때는 \(H_0 = 100\ \text{km/s/Mpc}\)를 사용하였다. 식 \(v_r = H_0 d + v_p\)에서 보듯이, 실제 관측되는 후퇴 속도 \(v_r\)에는 특이 속도 \(v_p\)가 포함된다. 처녀자리은하단 전체가 우리은하와 함께 국부 중력장(예: 처녀자리 초은하단 중심 질량)에 의해 끌려가는 특이 속도를 가지고 있다면,
$$ \frac{v_r}{d} = H_0 + \frac{v_p}{d} $$
가 되어, 한 은하단만으로 구한 \(v_r/d\)는 우주 전체에 대한 참값 \(H_0\)와 달라질 수 있다. 즉, 처녀자리은하단의 특이 속도 \(v_p\)가 음수(우리 쪽으로 끌려오는 방향)이면 \(v_r\)가 작아지고, 그 결과 \(v_r/d\)로 구한 허블 상수는 모형에서 사용한 \(100\ \text{km/s/Mpc}\)보다 작게(약 \(73\ \text{km/s/Mpc}\)) 나타난다.
따라서 허블 상수를 보다 정확하게 구하려면, 특이 속도의 상대적 영향이 작은 더 먼 거리의 은하나 은하단들을 많이 사용해 평균을 내야 함을 알 수 있다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>