정답
\(P_a=\dfrac{V_0^2}{2}\,\dfrac{R}{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C^2}}\), \(\cos\phi=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C^2}}}\), \(\omega_0=\dfrac{\sqrt{2}}{RC}\).
출제 의도
교류 R–C, R–L 직렬 회로에서 임피던스를 이용해 저항에서 소비되는 평균 전력을 구하고, 그로부터 전력인자(역률) \(\cos\phi\)를 표현할 수 있는지를 묻는다. 또한 같은 교류 전원에서 스위치를 바꾸어 R–L 직렬 회로로 만들었을 때 전력이 특정 비율이 되도록 하는 각진동수 \(\omega_0\)를 구하게 함으로써, 임피던스와 전력 사이의 관계를 종합적으로 이해했는지를 평가하는 문제이다.
풀이 과정
먼저 스위치 S를 a에 두었을 때, 회로는 R과 C가 직렬인 R–C 회로이다.
이때 전원의 최대값이 \(V_0\) 이므로 제곱평균제곱값은 \(V_{\rm rms}=\dfrac{V_0}{\sqrt{2}}\) 이다.
커패시터의 리액턴스는 \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\), 임피던스 크기는
$$ |Z_{RC}|=\sqrt{R^2+X_C^2} =\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2C^2}} $$
이다. 따라서 회로 전류의 rms 값은
$$ I_{\rm rms}=\frac{V_{\rm rms}}{|Z_{RC}|} =\frac{V_0/\sqrt2}{\sqrt{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C^2}}}. $$
저항기에서 소비되는 평균 전력은
$$ P_a=I_{\rm rms}^2\,R =\frac{V_0^2}{2}\, \frac{R}{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C^2}}. $$
또한 전력 공식 \(P=I_{\rm rms} V_{\rm rms}\cos\phi\) 를 쓰면
$$ \cos\phi =\frac{P_a}{I_{\rm rms}V_{\rm rms}} =\frac{R}{|Z_{RC}|} =\frac{R}{\sqrt{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C^2}}}. $$
다음으로 스위치를 b에 두면 R–L 직렬 회로가 된다. 임피던스 크기는
$$ |Z_{RL}|=\sqrt{R^2+(\omega L)^2}. $$
따라서 저항에서 소비되는 평균 전력은
$$ P_b = I_{\rm rms}^2 R = \left(\frac{V_{\rm rms}}{|Z_{RL}|}\right)^2 R = \frac{V_0^2}{2}\, \frac{R}{R^2+(\omega L)^2}. $$
이제 \(L=R^2C\) 이고, 각진동수를 \(\omega_0\) 라 할 때 \(P_b=\dfrac{P_a}{2}\) 가 되도록 한다. 즉, \(\omega=\omega_0\) 로 두고
$$ \frac{V_0^2}{2}\, \frac{R}{R^2+(\omega_0L)^2} = \frac12\cdot \frac{V_0^2}{2}\, \frac{R}{R^2+\dfrac{1}{\omega_0^2C^2}} $$
이다. 공통 인수 \(\dfrac{V_0^2}{2}R\) 을 소거하면
$$ \frac{1}{R^2+(\omega_0L)^2} = \frac{1}{2\left(R^2+\dfrac{1}{\omega_0^2C^2}\right)}. $$
여기에 \(L=R^2C\) 를 대입하면
$$ R^2+\omega_0^2R^4C^2 =2\left(R^2+\frac{1}{\omega_0^2C^2}\right). $$
차원을 간단히 하기 위해 \(x=\omega_0RC\) 라 두면
$$ \omega_0^2L^2=\omega_0^2R^4C^2=x^2R^2, \qquad \frac{1}{\omega_0^2C^2}=\frac{R^2}{x^2}. $$
위 식은
$$ R^2+x^2R^2=2\left(R^2+\frac{R^2}{x^2}\right) \quad\Rightarrow\quad 1+x^2=2\left(1+\frac{1}{x^2}\right). $$
정리하면
$$ 1+x^2=2+\frac{2}{x^2} \quad\Rightarrow\quad x^4-x^2-2=0. $$
\(y=x^2\) 라 두면
$$ y^2-y-2=0 \quad\Rightarrow\quad (y-2)(y+1)=0 \quad\Rightarrow\quad y=2\ (\text{양수만 채택}). $$
따라서
$$ x^2=2\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt2>0, $$
즉
$$ \omega_0RC=\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad \omega_0=\frac{\sqrt2}{RC}. $$
따라서 조건을 만족시키는 교류 전원의 각진동수는 \(\displaystyle\omega_0=\dfrac{\sqrt2}{RC}\) 이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>