정답
\(a = 2,\quad b = 5\)
출제 의도
유한체의 구조와 곱셈군 \(F^{\ast}\)의 위수를 이용하여, 직접곱 \( \mathbb{Z}_4 \times F^{\ast} \)가 순환군이 되기 위한 조건을 판별하는 문제이다. 또한 그 조건을 만족시키는 체의 표수와 가능한 유한체의 개수를 묻는다.
풀이 과정
군 \(G\)는
\[ G = \mathbb{Z}_4 \times F^{\ast} \]
이고, \(G\)의 위수는
\[ |G| = 4 \cdot |F^{\ast}| = 4(|F|-1) \]
이다. 문제에서 \( |G| \le 160 \) 이라고 했으므로
\[ 4(|F|-1) \le 160 \quad\Rightarrow\quad |F| – 1 \le 40 \quad\Rightarrow\quad |F| \le 41. \]
체 \(F\)가 유한체라면 그 크기는 어떤 소수 \(p\)와 자연수 \(n\)에 대해 \( |F| = p^n \) 꼴이다. 그리고 유한체의 곱셈군 \(F^{\ast}\)는 항상 순환군이며,
\[ |F^{\ast}| = |F| – 1 \]
이다.
직접곱 \( \mathbb{Z}_4 \times F^{\ast} \)가 순환군이 되려면, 두 순환군의 위수가 서로 서로소여야 한다.
\[ \mathbb{Z}_4 \times F^{\ast} \text{ 가 순환군} \iff \gcd(4, |F^{\ast}|) = 1 = \gcd(4, |F|-1) = 1. \]
이는 \(|F|-1\)이 홀수라는 뜻이므로, \(|F|\)는 짝수이어야 한다. 유한체의 크기가 짝수이면 표수는 2이므로
\[ a = \operatorname{char} F = 2. \]
또한 \(|F| \le 41\) 이고 \(|F| = 2^n\)인 유한체만 고려하면 되므로 가능한 크기는
\[ |F| = 2, 4, 8, 16, 32 \]
뿐이다. 각 \(2^n\)에 대해 서로 동형이 아닌 유일한 유한체가 존재하므로(예: \(\mathbb{F}_{2}, \mathbb{F}_{4}, \dots, \mathbb{F}_{32}\)), 이 다섯 개의 체가 모두 조건을 만족한다.
실제로 각 경우에
\[ |F^{\ast}| = 2^n – 1 \]
은 항상 홀수이므로
\[ \gcd(4, 2^n – 1) = 1 \]
이고, 따라서 \( \mathbb{Z}_4 \times F^{\ast} \)는 순환군이 된다. 또한
\[ |G| = 4(2^n – 1) \le 4(32 – 1) = 124 \le 160 \]
이므로 위수 조건도 만족한다.
따라서 조건을 만족시키는 서로 동형이 아닌 체는 5개이므로
\[ b = 5 \]
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>