정답
북극성의 고도는 \(60^\circ\), 천체 X의 시각각은 \(60^\circ\), 이때 천체 X의 고도 \(h\)는 \(\sin h = \dfrac{7}{8}\) 이다.
출제 의도
위도와 적위, 시각각을 이용해 천체의 고도를 구하는 구면삼각법(천정–북극–천체 삼각형)을 이해하고, 구면코사인 법칙과 삼각함수 기본 변환식을 실제 계산에 적용할 수 있는지 평가하는 문제이다.
풀이 과정
북극성이 천구의 북극에 정확히 있다고 가정하면, 북반구에서 북극성의 고도는 관측자의 위도와 같다.
관측자의 위도가 북위 \(60^\circ\) 이므로, 북극성의 고도는
$$ \text{북극성 고도} = 60^\circ $$
천체 X의 적위는 \(+60^\circ\) 이고, 남중(자오선 통과)한 후 4시간이 지났으므로, 시각각 \(H\)는 시간당 \(15^\circ\) 회전을 곱해
$$ H = 4 \,\text{h} \times 15^\circ/\text{h} = 60^\circ $$
이제 천정(Z), 북극성(P), 천체 X가 이루는 구면 삼각형 \( \triangle PZX \)을 생각한다.
각 호를 다음과 같이 둔다.
\(a\): \(ZX\) (천체의 천정거리) \(\Rightarrow a = 90^\circ – h\) \(b\): \(PX\) (천체의 극거리) \(\Rightarrow b = 90^\circ – \delta = 90^\circ – 60^\circ\) \(c\): \(PZ\) (극과 천정 사이의 호) \(\Rightarrow c = 90^\circ – \phi = 90^\circ – 60^\circ\) \(A\): 극 P에서의 각 \(\Rightarrow A = H\)
구면 코사인 법칙을 적용하면
$$ \cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A $$
따라서
$$ \cos(90^\circ – h) = \cos(90^\circ – 60^\circ)\cos(90^\circ – 60^\circ) + \sin(90^\circ – 60^\circ)\sin(90^\circ – 60^\circ)\cos 60^\circ $$
삼각함수 변환식 \( \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\ \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha \)를 이용하면
$$ \sin h = \sin 60^\circ \sin 60^\circ + \cos 60^\circ \cos 60^\circ \cos 60^\circ $$
\(\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \cos 60^\circ = \dfrac12\) 이므로
$$ \sin h = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac12\right)^2 \cdot \frac12 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $$
따라서 천체 X의 고도 \(h\)에 대해서
$$ \sin h = \frac{7}{8} $$
이 된다.