정답
\(\ell=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}\), 단위세포에서 이온이 차지하는 부피비는 \(\dfrac{\pi\sqrt{3}\,(b^3+2)}{4(b+1)^3}\), 한 A에서 두 번째로 가까운 이온의 개수는 \(12\)이다.
출제 의도
양이온이 입방 조밀 쌓임(면심입방, fcc)을 이룰 때 사면체 구멍의 위치와 최근접 거리 관계를 이용해 격자상수(모서리 길이)를 구하고, 단위세포 내 이온 개수를 바탕으로 충진률(이온이 차지하는 부피비)을 계산하는 능력을 묻는다. 또한 fcc 격자에서의 최근접·차근접 이웃 개수를 통해 “두 번째로 가까운 이온”의 개수를 판단하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
문제에서 A(양이온)는 fcc 격자를 이루고, B(음이온)는 사면체 구멍 8개를 모두 채운다고 했다. fcc 단위세포에서 A의 개수는 4개이고, 사면체 구멍은 8개이므로 B는 8개가 단위세포에 포함된다(따라서 조성은 \(MX_2\)형이지만, 여기서는 기하만 사용한다).
fcc에서 한 A를 \((0,0,0)\)에 두면 사면체 자리의 한 B는 \(\left(\frac14,\frac14,\frac14\right)\)에 놓일 수 있다. 따라서 A–B 최근접 거리는 모서리 길이를 \(\ell\)이라 할 때 다음과 같다.
$$ a=\ell\sqrt{\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^2} =\ell\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} $$
따라서
$$ \ell=\frac{4a}{\sqrt{3}} $$
이제 이온이 차지하는 부피비(충진률)를 구한다. 이온 반지름을 \(r_A, r_B\)라 하면 인접한 A–B는 접한다고 보아
$$ a=r_A+r_B $$
또한 \(r_A\)는 \(r_B\)의 \(b\)배이므로
$$ r_A=br_B,\qquad a=(b+1)r_B $$
단위세포 하나에 포함되는 이온의 개수는 A가 4개, B가 8개이므로 전체 이온 부피는
$$ V_{\text{ions}} =4\cdot\frac{4}{3}\pi r_A^3+8\cdot\frac{4}{3}\pi r_B^3 =\frac{4}{3}\pi\left(4b^3r_B^3+8r_B^3\right) =\frac{16}{3}\pi r_B^3(b^3+2) $$
단위세포의 부피는 \(\ell=\dfrac{4(b+1)r_B}{\sqrt{3}}\)이므로
$$ V_{\text{cell}}=\ell^3=\left(\frac{4(b+1)r_B}{\sqrt{3}}\right)^3 =\frac{64(b+1)^3r_B^3}{3\sqrt{3}} $$
따라서 부피비(충진률)는
$$ \frac{V_{\text{ions}}}{V_{\text{cell}}} =\frac{\frac{16}{3}\pi r_B^3(b^3+2)}{\frac{64(b+1)^3r_B^3}{3\sqrt{3}}} =\frac{\pi\sqrt{3}\,(b^3+2)}{4(b+1)^3} $$
마지막으로 “A에서 두 번째로 가까운 이온”의 개수를 구한다. 이 구조에서 A의 최근접 이웃은 사면체 자리에 있는 B로 8개이며(거리 \(a=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell\)), 그 다음으로 가까운 이웃은 fcc 격자의 A–A 최근접 이웃들이다. fcc에서 한 격자점의 최근접 이웃 수는 12개이므로, A에서 두 번째로 가까운 이온의 개수는 12개이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>