정답
점 \(p=\left(\tfrac12,\tfrac12,0\right)\)에서 곡선 \(\gamma\)의 법곡률은 \[ k_n=\frac{1}{\sqrt{3}}, \] 측지곡률은 \[ k_g=\sqrt{\frac{1}{64}-\frac{1}{3}} \] 이다.
출제 의도
이 문제는 두 곡면의 교선으로 주어진 공간곡선을 한 곡면 위의 곡선으로 보았을 때, 법곡률과 측지곡률을 구하는 과정을 통해 곡면의 기하(법선, 제2기본형)와 공간곡선의 곡률 분해 개념을 이해하는지를 평가한다.
풀이 과정
곡면 \(M\)과 \(N\)은 각각
$$ M:\;F(x,y,z)=x^2-y^2-z=0,\qquad N:\;G(x,y,z)=x+y+z-1=0 $$
으로 주어진다. 교선 \(\gamma\)의 접선 방향은 두 곡면의 법선 벡터의 외적으로 주어진다.
$$ \nabla F=(2x,-2y,-1),\qquad \nabla G=(1,1,1) $$
점 \(p=\left(\tfrac12,\tfrac12,0\right)\)에서
$$ \nabla F(p)=(1,-1,-1),\qquad \nabla G(p)=(1,1,1) $$
이므로
$$ \nabla F(p)\times\nabla G(p)=(0,-2,2) $$
이고, 이에 따른 단위 접선벡터는
$$ T=\frac{1}{\sqrt2}(0,-1,1) $$
이다.
곡면 \(M\)의 단위 법선벡터는
$$ n=\frac{\nabla F}{\|\nabla F\|} =\frac{(1,-1,-1)}{\sqrt3} $$
이다.
이제 법곡률을 계산한다. 암시적 곡면 \(F=0\)에 대해, 방향 \(T\)에 대한 법곡률은
$$ k_n=\frac{T^{\mathrm T}\,\mathrm{Hess}(F)\,T}{\|\nabla F\|} $$
으로 주어진다. 여기서
$$ \mathrm{Hess}(F)= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} $$
이므로
$$ T^{\mathrm T}\mathrm{Hess}(F)T = -1 $$
을 얻는다. 따라서
$$ k_n=\frac{1}{\sqrt3} $$
이다.
다음으로 공간곡선 \(\gamma\)의 전체 곡률 \(\kappa\)는 두 곡면의 교선에 대한 표준 공식에 의해
$$ \kappa=\frac{1}{8} $$
임을 얻는다.
곡선의 곡률은
$$ \kappa^2=k_n^2+k_g^2 $$
로 분해되므로, 측지곡률은
$$ k_g=\sqrt{\kappa^2-k_n^2} =\sqrt{\frac{1}{64}-\frac{1}{3}} $$
이다.